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淡化形式,注重实质的继续研究价值

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淡化形式,注重实质的继续研究价值 陈先生和宋乃庆教授在“再谈‘淡化形式,注重实质’ ”一文中, 谈到了小学数学教学问题,其中认为“乘法次序形式上的差异”应予 “淡化” 。

即 “小学数学乘法算式中被乘数、乘数次序不能写颠倒,否则算 ‘错’要扣分。

3×4 是 4 个 3 的和,3 的 4 倍;而 4×3 则是 3 个 4 的和,4 的 3 倍,两者意义不同。

写颠倒了说明概念不清,问题就严 重了。

并认为学生对“倍、分”的应用题感到困难,就是对乘法意义 不清才产生的。

因之,尽管专家提出异议,未见对实际教学有任何影 响。

由表达次序产生的意义不同,由于结果一致并不会对乘法意义的 掌握带来实质影响。

看绘画展览从左至右,或从右至左看,不会对展 览内容的了解有多大影响, ‘倍、分’应用题的困难决不会因强调乘 法的次序而解决。

其实加法也有被加数、加数,3+4 是树上有 3 只鸟, 又飞来了 4 只鸟是 3 加上 4;4+3 是树上 4 只鸟,又飞来了 3 只鸟, 是 4 加上 3,意义也不同。

否则加法交换律就没有意义了。

从单独的 运算结构看加法与乘法是‘相同’ (同构)的(有了分配律,两者才 不同了) ,而为什么要‘严于乘’而‘宽与加’呢?被加数、加数不 加区别都叫加数,但保留被乘数与乘数的名称,人为地把乘法次序形 式上的差异‘严重化’是没有道理的,应予‘淡化’ ” 。

这个呼吁应该说是被专家和多数人接受了。

现在的小学数学《标 准》版教科书里,已不再分被乘数和乘数,而统称“因数” 。

图1

笔者在 2010 年 4 月,意外地读到一份重庆市某地区,署名为“学 生家长们”的意见信(对新《标准》小学数学教科书编写意见) 。

现 将其中的两条收录如下: “把乘数与被乘数混为一谈是不妥当的。

在计算应用题时会出现 笑话。

如‘1 个人养 5 条狗,3 个人养多少条狗?’ (应该列式 5 条× 3=15 条)如不分乘数和被乘数,会变成 3 人×5=15 人。

那就变成了 5 条狗养 15 人, (出现)人狗不分的现象。

其次,教师教 3 位数乘以 2 位数时,教师可以对学生说,先用乘数的个位去乘(被)乘数的个 位,再乘(被)乘数的十位、百位后,再用乘数的十位去乘(被)乘 数的个位、十位、百位。

(新《标准》 )教材,把被乘数与乘数混为一 谈,相当于不分你和我。

教师难教,学生难学,容易(造成)错误” 。

在 “两位数除以一位数的除法单元中, 所有的例图只举包含除法, 概无等分除法例题,知识不完整” 。

这两条意见,正好反映了对“淡化”的具体内容有不同见解。

从现今国家《标准》课改中看到,新课程理念的宣传中,专家们 对“淡化形式,注重实质”主张的支持: 华东师范大学孔企平教授等所著 《新课程理念与小学数学课程改 革》 (2002 年 7 月,第 1 版)一书中的论述,就非常能说明问题,收 录如下: “淡化专用概念,取消人为的障碍。

长期以来,学生在学习乘除  孔企平:华东师范大学教授,博士生导师。

国家义务教育数学课程标准研制组核心成员,国家数学课程 标准实验教材(1—6 年级)主编。

图2

法的意义时,经常会碰到两方面的障碍。

一是乘法的每份数与份数; 二是除法的等分与包含。

前者是比较强调被乘数、乘数的概念,所以 列式时这两个概念的位置颠倒,就算是错误的。

这种人为的设置,使 学生的练量增加,但没有取得应有的效果。

为此, 《标准》在具 体目标的注释中,特别指明: ‘3 个 5,可以写作 3×5,也可以写作 5 ×3。

3×5 读作 3 乘 5,3 和 5 都是乘数(也可以叫做因数) 。

’ ” “后者 是比较强调除法的‘等分’与‘包含’ 。

因此, 《标准》注释中指出: ‘关于除法不给出‘第一种除法’ 、 ‘第二种除法’等名称” 。

例如, “一堆苹果有 2 个,4 堆苹果一共有 8 个,可以写成 2×4=8。

现在把 8 个苹果,平均分成 4 份,每份 2 个,可以写成 8÷4=2;把 12 个玻 璃杯,每 4 个装一盒,可以装 3 盒,写成 12÷4=3.它们都是把整体 分成几个相等的部分,都用除法来表示” 。

从新《标准》小学数学教科书的编写过程中,看到“过分形式化” 的影响。

国家课程《标准》教科书审定会的一份专家审定意见, 收录其中的一条如下: “考虑到第二学段学生与第一学段学生的不同,应逐步减少那些 与主题无本质关联 的所谓情景(特别是四(下)与五(上) ) ,如‘找 ..... 朋友’ 、 ‘摘鲜花’ 、 ‘配钥匙’ 、 ‘放风筝’ 、 ‘回家’等(三册书类似设 计共约 20 多处) ,其实质 都是通过计算,得到答案后连线找对象。

这 .. 样的东西多了(过分了) ,反而形成了一种形式的作法 。

” ..... 需进一步研究的是关于初中数学中的“几何”问题: “一(下)安排‘直观几何’ ,解决好合理的直观性问题” 。

图3

“二(上)开始主要解决‘严密的逻辑性’问题。

为此,必须有 一个合理的公理系统作为依据,并使学生了解命题、定理,证明等含 义。

那种随处添入公理的作法不可取。

因为‘法’必须先立,不能随 时‘因需要’而添入。

其次,公理‘后移’ (即把某些定理作为公理) 要慎重研究, 如果真流于繁琐, 当然应后移。

不能稍因有某种 ‘困难’ , 就往后撤。

这样的教材进行国际交流, 就可能会引起疵议而贻笑大方。

综合几何既纳入课程,恐怕流行多年的教材,值得我们参考” 。

《标准》第三学段,二.空间与图形, (一)具体目标, 4、图形 与证明里,有(2)掌握以下基本事实,作为证明的依据: ①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

②两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线 平行。

③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分 别相等,则这两个三角形全等。

④全等三角形的对应边、对应角相等。

这四条基本事实,相当于将原“平面几何”中的几条定理“同位 角相等的判定和性质”与“三角形全等的判定和性质” ,都把它作为 公理处理,即扩大公理范围的作法,无可非议。

但能否达到“从几个基本的事实出发,证明一些有关三角形、四 边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌 握用综合法证明的格式,初步感受公理化思想”的目标,可能有些困 难吧?

图4

有人首先提出来的是,证明“几何事实”有必要吗? 通过观察,比一比、画一画、量一量,说它是基本事实不就完了, 还去证明它干什么。

通过“证明一些有关三角形、四边形的基本性质” ,就能“初步 感受公理化思想”吗? 另外,在《标准》第三学段,二.图形与几何里,只列出(一) 图形的性质、 (二)图形的变化、 (三)图形与坐标。

没有单列“几何 证明” 。

这样造成几何“基本事实”分散列在以上各节的内容标准里, 即 在(一)图形的性质里,有 „„ 掌握基本事实:两点确定一条直线。

掌握基本事实:两点之间线段最短。

„„ 掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。

掌握基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么两直线平行。

掌握基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平 行。

„„ 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

图5

掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。

在(二)图形的变换里,又有 „„ 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成 比例。

那么,按《标准》 (修改稿)编出的初中数学教材的各册里,不 可避免地会在不同册的教科书里,出现几何“基本事实” 。

随处可见 的“几何公理” ,是否如陈先生所料到的, “随时‘因需要’而添入” (公理) 呢?是否就是陈先生不赞成的那种 “不能稍因有某种 ‘困难’ , 就往后撤”的做法呢?这种“ ‘公理’后移,要慎重研究”的观点, 笔者认为极有道理。

因为“感受公理化思想” ,正是要感受“先确立 少数几个公理(基本事实) ” ,作为以后推理基础的思想。

图6

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