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静电学复习专题讲座 电容篇

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2017/3/7 电力线(电场线) 电力线是描述电场的一组有向曲线: 1)曲线上任意一点的切向是该点电场强度的方向; 2)局域曲线的疏密表示电场的强弱。

3)电力线是非闭合曲线,有始有终:电力线的起点是正 电力线管 电力线管:一束电力线围成的管状空间。

1)管壁上的电力线“躺”在侧面上; 2)管内没有电荷时,正截面上的电通量相等。

电荷或者无穷远、终点是负电荷或者无穷远,但是同一 根电力线不能起于无穷远、止于无穷远。

4)沿着电力线的方向,电势降落,垂直于电力线的方向 电势相等,电力线与等势面垂直。

点电荷可以看成是带着 一身电力线的刺状球, “刺”的根数和电荷量 成正比,Qε0. • 空间有许多互不接触的导体,每个导体的带电量都 为负。

试证:至少有一个导体,其表面上任意一点 的面电荷密度处处为负。

证:静电平衡后每个导体都有确定电势值,设电势最高者为H, 电势最低者为L,则有  H   L 若 L表面有正电荷,该正电荷发出的电场线不能到达 L,也 不能到达其他导体,只能指向无穷远,则有 L   n 旧例:电偶极子中垂面 上的电通量。

-q +q H 表面必有负电荷,终止于该负电荷的电场线只能来自于 无穷远,则有   H 电通量就是穿过一个面 的电力线的根数。

 L  H , 与前面矛盾! 故L上电荷处处为负。

命题得证。

例:电场中没有电荷的区域电势 不可能极大或者极小。

反证:设存在一点P,该点没 有电荷,但电势P极大。

在该点附近作一等势面S,其电势为P –ε。

则在 S 面上各点的电场垂直于 S 指向外侧, S 面 上的电通量为正,S面内必有电荷。

矛盾。

故P点电势不可能极大。

同理,P点电势不可 能极小。

有一些互不接触的不带电的导体 A、B,···,它们电势 都为零,现在使导体A带正电荷。

求证: (1)所有导体的电势都大于零; (2)其他导体的电势都低于导体A。

证明: (1) 若没有导体被屏蔽,则导体达到静电平衡后 表面必然同时出现正电荷、负电荷,电势最低的导体上 的正电荷的电力线必终止于无穷远,故电势大于零。

若 某导体被屏蔽,则该导体的电势等于屏蔽它的导体的电 势,也大于零。

(2)由(1)知,所有导体电势大于零.若存在导体电势 高于 A,设导体 H 的电势最高 ( H>0),H 上的电力线只能 止于其他导体或者无穷远,亦即H上不能有负电荷,只 有正电荷,与H不带电矛盾。

1

2017/3/7 有限尺寸导体外的电荷 Q0 在导体上感应的电 量Q′< Q0 B不接地: B上同时有正电荷、负电 荷,A上的电力线没有全 部落到B上。

B接地: B上只有负电荷,电势为零。

带电粒子在电场中的运动特点及应用 带电粒子质量为m,静电场E 运动方程: m dt 2 d 2r t   qE  t  max  qEx  ma y  qE y  maz  qEz 带电粒子在电场中的运动特点及应用 带电粒子在电场中的运动特点及应用 若只有电场力作用,电场是保守场,有势场, 运动过程中能量守恒,非相对论情况下: 1 2 1 2 mv  qU  mv0  qU0  常数 2 2 2 v  v0  考虑匀强电场,设电场沿y方向,初速度沿x 方向。

2  qU0  qU  2qU 2 = v0  m m 带电粒子做类平抛运动 带电粒子在电场中的运动特点及应用 带电粒子在电场中的运动特点及应用 等势面上电子的“折射”、“会聚”现象 静电透镜 粒子水平方向不受力, 速度不变: v1 sin   v2 sin  若U1

逆着电场线朝向等势面的法线偏转 2

2017/3/7 电子透镜的焦距 E1 E2 S S 取图示柱坐标系,设垂 直于z轴的半径方向电场 为Er , 则有 pr   终点 起点 dpr  e  d -d Er dz vz S Fr   eEr dt时间内,电子的动量增量: dpr  Fr dt  eEr dz vz 在远离开孔处,电场 均匀,电子初速度沿 pr  e d Er dz =  e  d Er dz -d v vz -d z z方向,数值很大: 取图示高斯面, 2 r d E dz =- r 2 E  E  2 1 -d r 外场满足:  d -d Er dz =- r  E2  E1  2 pr  er  E2  E1  2vz α 薄透镜近似:薄透镜情 况下,电子束在圆孔附 近开始偏折,焦距从圆 孔中心开始算。

r f α 电子束通过圆孔后偏折角: er  E2  E1  v p 2v er tan   r  r  z   E2  E1  vz p z mvz 2mvz2 电子透镜的“焦距”f: tan   只要电子能量相同,离轴不同距离的电子束线 可以会聚到轴上一点,实现电子束聚焦。

2mvz2 4EK r f    tan  e  E2  E1  e  E2  E1  “焦距”从电子“偏折”处开始算。

§2.3 电容和电容器 一、孤立导体的电容(capacity) 根据叠加原理,当孤立导体的电量增加若干倍 时,导体的电势也将增加若干倍. 孤立导体的电势与其电量成正比: U  q C C称为孤立导体的电容: C  q U 单位制确定以后, C的值只取决于孤立导体的 几何形状。

孤立导体电容的大小反映了该导体 在给定电势的条件下储存电荷能力的大小。

1. 孤立导体:空间只有一个导体,在其附近没有 其它导体和带电体。

电荷在导体表面的分布必须保证满足导体的静 电平衡条件。

对于孤立导体,电荷在导体表面的相对分布情 况由导体的几何形状唯一确定,因而带一定电 量的导体外部空间的电场分布以及导体的电势 亦完全确定. 3

2017/3/7 2.孤立导体球的电容 一半径为R的导体球,带有电荷Q,其电势为 : U Q 40 R 3.电容的单位 电容的单位是法拉(F), 1F= 1C/V。

F 是一个很大的单位,电容为 1F 的孤立导体球 的 半 径 约 9×109 m , 而 地 球 的 半 径 只 有 6.4×106m. 由于法拉这一单位太大,使用不方便,通常取 法拉的 10-6 作为电容的单位,称为微法,记作 μF.有时取法拉的10-12作为电容的单位,称为 皮法,记作pF。

1 mF= 10-6 F 1pF= 10-6 mF= 10-12F 故其电容为: C q  40 R U 电容大小由半径决定.若把地球作为一个孤立 导体球,其电容也可由上式决定。

二、电容器及其电容的计算 对于两个带相同电量的导 1.两导体间的电容 当周围存在其他导体或者其他 带电体时,由于静电感应,产 生感应电荷分布,改变了所考 察带电导体的电势。

体组成的导体组,当周围 不存在其他导体或带电体, 这两导体间的电势差与电 量成正比,或者说,电量 与电势差的比值是一恒量, 通常称这一比值称为导体 组的电容。

非孤立导体的电势还与附近导体的位置、 几何形状有关。

2.电容器 空腔导体的屏蔽作用可以使带电物体不影响 周围其它带电体,即 C和 D 的位置改变不影 当两导体附近存在其他带电体或导体时, 电量与电势差之间的正比关系将被破坏。

可以采用静电屏蔽的方法,可保证两导体 间的电势差与电量间的正比关系,电容器 响A、B之间的电势差。

不受周围其他带电体或导体的影响。

C D 4

2017/3/7 球内电场均匀分布,不受外界影响。

C 导体 A 和 B 之间的电势差仅与导体 A 的电量 成正比,与导体B周围的其他带电体或导体 无关。

这种特殊的导体组称为电容器,组成电容器 的两个导体分别称为电容器的两个极板。

A B 电容器的电容值为: C AB  qA U A U B 几种典型的电容器 电容器的电容大小反映了当电容器两极间存 在一定电势差时,极板上贮存电量的多少。

电容器的电容完全由电容器的几何结构决定 1)电容与电容器带电状态无关, 2)电容与周围的带电体也无关。

• 平板电容器,两极板面积 S,两 极间距d (S>>d2) [解]令两极板带电±Q,则: 极间电场强度:E  σ Q  E 0 B + + + + + A 0  -Q  0 两级间电势差:U  Ed  电容器的电容:C  Qd Q  U d  0S  0S C  0S d C∝S ,S 为有效面积,即两极板相对之面积; C∝1/d,对其它形状电容器也适用; C与极间介质有关 增大极板面积,减少两极板间的距离可使电 容器的电容量增大。

严格讲,平行板电容器并不是屏蔽得很好的 导体组,它们的电势差或多或少受到周围导 体和带电体的影响,以上的结论只有在其他 导体或带电体远离平行板电容器时才严格成 立;实际使用中的平行板电容器往往加有屏 蔽罩或卷成筒状,使屏蔽效果改善。

通常使用的电容器是用两片金属薄片中间夹上一层很 薄的绝缘介质卷起来制成的。

- - - - - Q  0S 5

2017/3/7 • 分类 –结构:固定电容器、可变电容器和半可调电容器 –介质:无机介质、有机介质、电解电容器、液体介 质 –用途:高频旁路、低频旁路、滤波、调谐、高频耦 合、低频耦合、储能电容器。

• 作用:通交流、阻直流 –隔直流:作用是阻止直流通过而让交流通过。

–旁路:为交流电路中某些并联的元件提供低阻抗通 路。

–滤波:将整流的锯齿波变为平滑的脉动波。

–整流:在预定的时间开或者关半闭导体开关元件。

–储能:储存电能,用于必须要的时候释放。

• 同心导体球壳 • 设内球面半径RA,外球面半径RB,带电量为Q Q E 4 0 r 2 RB + + RA + U AB  U A  U B  E  dr RA +Q + RB Q dr Q  1 1  +      +  + R A 4π r 2 - RB 4π 0  0  RA RB  -Q Q R R  C U AB  4 0 A B RB  RA • 当RA,RB >> RB-RA 时,可令RB-RA=d,RBRA=R2,则同 平板电容器 C = 4πε 0 R 2 d = ε 0S d •当RB >> RA 时,同孤立导体球的电容 C  4 π 0 RA + + R + + - = - +Q R + + + -Q 2 1 + + +Q + + + + 2 + R + R1 - R2 • 同轴柱形导体壳 设长为L,带电量为Q ,内半径为RA,外半径为RB R1 Q +,R1 = 4 0 R1 1 Q -,R1 =4 0 R1 - -Q U AB   E  d l   E  d r A B B 1 +,R = 2 Q 4 0 R 2 1 -,R =2 Q 4 0 R1 1  Q ,  2 0 r L R  R 1  ln B U AB   dr  R 2 r 2  RA 0 0 E B A A RA RB  E L 负电荷球壳内是等 电势空间,引入后 不改变两个球壳之 间的电势差。

C2  Q 2  1  4 0 R1R2 ( R1  R2 )  Q R ln B 20 L R A C  Q U AB C 2 0 L ln RB RA • 平行直导线 设有两个半径都为R的平行直导线,它们之间的距离 为d,且d>>R, 求单位长度的电容c +λ 解:根据场强叠加原 A 2R O 理: +在x处的电场 x ∆U E P 和 -在(d-x)处的电 d-x 场相加, E的方向沿x O' B - λ 轴的正方向, x E (  ) 2 0 x d  x 1 • 计算电容的一般方法: – 先假设电容器的两极板带等量异号电荷Q – 求出极板之间的电场强度 E – 求出极板之间的电势差 U – 代入定义式C=Q/U求出电容   U   E  dl   l dR R Edx )dx  1 2 0  c   0 ln( d R ) U  d R R (  x   dx  dR  d  ln  ln  0 R  0 R 6

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